1.4向量的模方向余弦1、【单选题】点(4,-3,5)到x轴的距离为( )
a、
b、
c、
d、
2、【单选题】点p位于第四卦限，向径的方向角分别为，，，且，,则为（ ）
a、
b、
c、
d、
3、【单选题】已知两点，则向量的坐标表示为（ ）
a、
b、
c、
d、
4、【单选题】接以上第3题。向量的三个方向余弦分别为（ ）
a、
b、
c、
d、
5、【单选题】接以上第3第4题。向量的三个方向角分别为（ ）
a、120度，135度，60度
b、60度，45度，120度
c、150度，135度，30度
d、120度，45度，120度
6、【填空题】点(4,-3,6)到z轴的距离为_______
7、【填空题】点p(1,2,3)关于xoy面的对称点为(p1,p2,p3)，关于yoz面的对称点为(p4,p5,p6)，关于x轴的对称点为(p7,p8,p9)，关于原点的对称点为(p10,p11,p12)。 这里p1=_____,p2=_____,p3=_____,p4=_____,p5=_____,p6=_____,p7=_____,p8=_____,p9=_____,p10=_____,p11=_____,p12=_____。
8、【填空题】从点a(2,4,7)沿向量=(8,9,-12)的方向取的模=34，则b点坐标为(b1,b2,b3)。 这里b1=_____,b2=_____,b3=_____。
9、【填空题】向量的模为4，与u轴的夹角为60度，则该向量在u轴上的投影为_______
10、【填空题】设，则向量=，其在x轴上的投影为,在y轴上的分量为。 这里=_____,=_____,=_____,=_____,=_____。
1.8向量积计算例题1、【单选题】已知点a(-1,1,-1)，b(-1,2,1)，c(2,3,-3)，则所有与同时垂直的单位向量为( )
a、(-6,6,-3)
b、
c、
d、与
2、【单选题】已知，，且，则_________
a、4
b、
c、8
d、2
3、【单选题】已知，，则三角形oab的面积为（ ）
a、
b、
c、
d、以上都不对
4、【单选题】为非零向量，与垂直，与的夹角为，与的夹角为，的模分别为1,2,3。则 （ ）
a、
b、
c、
d、
5、【填空题】已知是单位向量，且满足。则_________。
6、【填空题】已知点a(2,4,n)，b(3,7,5)，c(m,10,9)三点共线，则m=______,n=______。
7、【填空题】向量在向量上的投影为__________
8、【填空题】设，且与互相垂直，则k=_________
1.11两平面的夹角1、【单选题】以下哪个向量不是平面2x-2y z 5=0的法向量？（ ）
a、(2,-2,1)
b、(-2,2,-1)
c、
d、(2,2,1)
2、【单选题】求平面2x-2y z 5=0与三个坐标平面之间夹角的余弦。 解：由定义，平面之间的夹角即为平面的法向量之间的夹角（范围在0到90度之间。即若法向量的夹角为钝角时，则取其补角）。于是设该平面法向量，与yoz平面的夹角为，与zox平面的夹角为，与xoy面的夹角为。则有 ，，。 这里a，b，c分别为（ ）
a、
b、
c、
d、
3、【单选题】若平面x 2y-kz=1与平面y-z=3的夹角为，求k。 解：设两平面的法向量分别为和。将它们的坐标表达式代入平面间夹角的余弦公式，可以解得k=( )。
a、2
b、4
c、
d、
4、【填空题】平行于xoz面且经过点(2,-5,3)的平面方程为ax by cz d=0 （这里a,b,c,d没有共同的质因子，即最大公约数为1，且规定d>0） 则a=_______,b=________,c=________,d=_________。
5、【填空题】经过x轴和点(-3,1,-2)的平面方程为ax by cz d=0 （这里a,b,c,d没有共同的质因子，即最大公约数为1，且规定c>0） 则a=_______,b=________,c=________,d=_________。
6、【填空题】点(1,2,1)到平面x 2y 2z-10=0的距离为_________________。
7、【填空题】求平行于x轴且经过两点m(4,0,-2)与n(5,1,7)的平面方程。 解：由题设，已知平面经过的点的坐标，只须再求出平面的法向量即可。为此设平面法向量为。由题设， 且，于是由向量积定义，可将取为=(a,b,c)。再用点法式方程，最后可得平面方程为ax by cz d=0。 这里a=________,b=_________,c=__________,d=___________。
8、【填空题】求过点(1,-1,1)且垂直于平面：x y-2z=0与：x-2y 5z=0的平面方程。 解：类似上题，我们只需求出平面法向量即可。为此设所求平面的法向量为，的法向量=(1,1,-2)，的法向量=(1,-2,5)。平面垂直即为其法向量互相垂直。故由题设可知且。再由向量积的定义，可将取为=(a,b,c)。最后和点(1,-1,1)一起代入点法式方程，得所求平面方程为ax by cz d=0。 这里a=__________,b=__________,c=__________,d=__________。
1.14直线与平面的夹角1、【单选题】点(3,-1,2)到直线的距离为（ ）
a、
b、
c、
d、
2、【单选题】求点n(-1,2,0)在平面x 2y-z 1=0上的投影。 解：设投影点为p，则直线np与平面垂直，而p为直线np与平面的交点。于是只需写出np的方程，再与平面方程联立，所得解即为p点坐标。因为np与平面垂直，故平面法向量即为直线的方向向量。于是可得直线np的方程为，最后与平面方程x 2y-z 1=0联立，解得投影坐标为（ ）
a、
b、
c、
d、
3、【单选题】求过点n(2,-3,4)且与直线垂直相交的直线方程。 解：设交点m，因为m在直线上，故可用的参数方程表示m点坐标，利用垂直条件解出具体参数即m点坐标，则所求直线mn方程即可写出。下设m点坐标(2t 1,t,-t 1)(t为参数)，则向量的坐标表示(1-2t,-3-t,3 t)。直线mn与垂直，设的方向向量为，则由可解得t=（ ）
a、
b、
c、
d、
4、【单选题】接以上第3题。最后可得（ ）
a、直线mn方向向量(1,-1,1)，方程为
b、直线mn方向向量(-1,1,1)，方程为
c、直线mn方向向量(1,1,-1)，方程为
d、直线mn方向向量(1,1,1)，方程为
5、【单选题】求直线l:在平面:4x-y z=1上的投影直线的方程。 解：所求投影直线为经过l且垂直于平面的平面，和平面的交线。于是设过直线l的平面束方程为 ，整理可得该平面法向量，和平面的法向量互相垂直。于是由可解出，最后和平面的方程联立，可得（ ）
a、，直线方程为
b、，直线方程为
c、，直线方程为
d、，直线方程为
6、【填空题】将直线化为参数方程，得（t为参数）。这里 n=_________,p=_________,=_________,=_________。
7、【填空题】过点(0,2,4)且与两平面x 2z=1与y-3z=2平行的直线方程为。这里 m=_________,n=_________,=_________,=_________。
8、【填空题】直线与平面x-y-z 1=0的夹角为________度。
9、【填空题】过点(4,-1,3)且与直线平行的直线方程为。这里 m=_________,p=_________,=_________,=_________。
10、【填空题】求过直线，且平行于直线的平面方程。 解：设所求平面为，其法向量为。因为平面经过直线，故平面的法向量垂直于的方向向量(1,0,-1)，同理，平面平行于直线，故又垂直于的方向向量(2,1,1)。于是由向量积定义，可将取为=(a,b,c)，用点法式方程，最后可得平面方程为ax by cz d=0。这里 a=______,b=______,c=_______,d=_______。
1.18二次曲面1、【单选题】空间解析几何中，方程表示（ ）
a、圆周
b、圆柱面，母线平行于x轴。
c、圆柱面，母线平行于y轴。
d、圆柱面，母线平行于z轴。
2、【单选题】空间解析几何中，方程所表示的图形为（ ）
a、球面
b、圆柱面
c、圆锥面（开口向上）
d、圆锥面（开口向下）
3、【填空题】xoy平面上双曲线绕x轴旋转一周，所得旋转面方程为。 绕y轴旋转一周，所得旋转面方程为。这里 a=_______,b=________,c=________,d=________,e=________,f=_________。
4、【填空题】方程表示空间中以(a,b,c)为球心，r为半径的球面。这里 a=______,b=______,c=______,r=______。
5、【填空题】方程可表示xoz平面中曲线绕d轴旋转一周生成的旋转抛物面。这里 a=_____,b=_____,c=_____,d为_______。
1.19.1空间交线动画1、【单选题】空间解析几何中，球面与锥面的交线在xoy面上的投影曲线方程为（ ）
a、
b、
c、
d、
2、【单选题】空间解析几何中，旋转抛物面在xoy面上的投影为（ ）
a、
b、
c、
d、
3、【单选题】方程在空间解析几何中表示（ ）
a、椭球面
b、平面
c、椭球面和平面的交线，为一直线
d、椭球面和平面的交线，为一椭圆
4、【单选题】方程在空间解析几何中表示的图形为（ ）
a、旋转抛物面
b、圆锥面
c、旋转抛物面和圆锥面的交线，为一抛物线
d、旋转抛物面和圆锥面的交线，为一圆周
5、【填空题】母线平行于y轴且经过曲线的柱面方程为。这里 a=______,b=______,c=______。
6、【填空题】方程在空间解析几何中表示平面ax by cz=1上，以点(a,b,c)为圆心，r为半径的圆周。这里 a=____,b=____,c=____,a=____,b=____,c=____,r=_____。
1.19.2作业1、【单选题】下列命题,正确的是( )。
a、是单位向量
b、非单位向量
c、
d、
2、【单选题】若直线和直线相交,则( )。
a、1
b、3/2
c、
d、
3、【单选题】母线平行于x轴且通过曲线的柱面方程是( )。
a、
b、
c、
d、
4、【单选题】旋转曲面的旋转轴是( )。
a、轴
b、轴
c、轴
d、直线
5、【单选题】两平面与重合的充分必要件是( )。
a、
b、
c、
d、
6、【单选题】设(其中均为非零向量),则( )。
a、0
b、非零常数
c、
d、
7、【单选题】设有直线则与的夹角为( )。
a、
b、
c、
d、
8、【单选题】设有直线及平面则直线( )
a、平行于
b、在上
c、垂直于
d、与斜交
9、【单选题】设一平面经过原点及,且与平面垂直,则此平面方程为( )
a、
b、
c、
d、
10、【单选题】已知向量的模分别为且,则( )
a、
b、
c、
d、
2.2多元函数的极限及连续-11、【单选题】下列极限存在的是__________.
a、
b、
c、
d、
2、【单选题】函数在点处具有偏导数是它在该点存在全微分的__________.
a、必要而非充分条件;
b、充分而非必要条件;
c、充分必要条件 ;
d、既非充分又非必要条件.
3、【单选题】有且仅有一个间断点的函数__________.
a、
b、
c、
d、
4、【单选题】已知,则__________.
a、关于 为单调递增;
b、;
c、;
d、.
5、【单选题】设,则=__________.
a、2;
b、;
c、0 ;
d、1.
6、【单选题】肯定不能成为某二元函数全微分的是__________.
a、;
b、;
c、;
d、.
7、【单选题】设函数,则错误的命题是__________.
a、是驻点;
b、是极值点;
c、是最小值点;
d、是极小值点.
8、【单选题】设函数,则为__________.
a、;
b、;
c、;
d、.
9、【单选题】曲面的一个法向量为__________.
a、;
b、;
c、;
d、.
10、【单选题】设函数在的某个邻域内有定义,且,,则有__________.
a、;
b、曲面 在点 的一个法向量为 ;
c、曲线 在点 的一个切向量为 ;
d、曲线 在点 的一个切向量为 .
2.3多元函数的极限及连续-21、【单选题】函数的连续点为（ ）
a、
b、
c、
d、以上都不对
2、【单选题】判断极限是否存在。如存在，计算之；如不存在，说明理由。 解：（ ）
a、令(x,y)沿直线趋向原点，则 ，故原极限存在且为0。
b、令(x,y)沿抛物线趋向原点，则 =，极限与x无关，故原极限存在且为。
c、令(x,y)沿抛物线趋向原点，则 =，极限随k的变化而变化，即随(x,y)趋向原点方式的变化而变化。故原极限不存在。
d、以上都不对
3、【填空题】极限____________
4、【填空题】计算极限 解：利用第二个重要极限，原式==___________
5、【填空题】计算极限 解：利用分母有理化，原式==________________
2.6全微分的定义及其计算法1、【单选题】设函数z=f(x,y)在(x,y)处可微，则下列等式正确的是（ ）
a、
b、
c、
d、
2、【单选题】设，则dz=( )
a、
b、
c、
d、
3、【单选题】设，求 解：根据全微分公式，=（ ）
a、，故=
b、，故=
c、，故=
d、，故=
4、【多选题】设z=f(x,y)在点(0,1)处的两个偏导数都存在，则以下等式正确的是（ ）
a、
b、
c、
d、
5、【多选题】以下关于二元函数的四个命题， （1）f(x,y)在点处连续； （2）f(x,y)在点处的两个偏导数连续； （3）f(x,y)在点处可微； （4）f(x,y)在点处的两个偏导数存在； 它们之间的关系为（ ） （这里表示由命题p可推出命题q）
a、（2）（3）（1）
b、（3）（2）（1）
c、（3）（2）（4）
d、（2）（3）（4）
6、【填空题】设，则=__________
7、【填空题】设，求。 解：先利用对数函数性质，化简得。（不化简也可以直接计算，但那是不动脑筋的人喜欢的做法。）于是可得，。这里 a=_____,b=_____,c=_____,d=_____。
8、【填空题】设，求 解法一：z为幂指函数，所以求导数之前首先要转换，不能直接套现成的导数公式（因为没有）。 故，求出的一般表达式，再代入x=1,y=1，最后可得=__________________
9、【填空题】接以上第3题。 解法二：利用。故先将y=1代入原函数得，再对z(x,1)求导（当然是对x求导，注意这仍然是幂指函数），最后将x=1代入，得=_____________
2.8多元复合函数求导法则-21、【单选题】设z=f(x,u)，，则( )
a、
b、
c、
d、
2、【单选题】设，则（ ）
a、
b、
c、
d、
3、【单选题】设，这里f为可导函数，则（ ）
a、
b、
c、
d、
4、【单选题】设f(x,y)=，则（ ）
a、
b、
c、
d、
5、【单选题】设，其中和都具有二阶连续偏导数，则有（ ）
a、
b、
c、
d、
6、【单选题】设，f具有二阶连续偏导数，则（ ）
a、
b、
c、
d、
7、【单选题】设z=f(u,x,y)，。其中f具有二阶连续偏导数。求。 解：先求，再求可得（ ）
a、，
b、，
c、，
d、，
8、【多选题】设z=f(x,y)=arctan(xy)，，求。（ ）
a、由复合函数求导公式，可得
b、由复合函数求导公式，可得
c、由复合函数求导公式，可得
d、将代入z的表达式可得，直接求导可得
9、【多选题】设，其中u=xcosy，v=xsiny。求。（ ）
a、由复合函数求导法则，，
b、由复合函数求导法则，，
c、将u和v的具体表达式代入，可得。再直接求导可得，
d、将u和v的具体表达式代入，可得。再直接求导可得，
2.11方程组确定的隐函数求导-21、【单选题】设z(x,y)为由方程2xz-2xyz ln(xyz)=0确定的函数，则（ ）
a、
b、
c、
d、
2、【单选题】设，则（ ）
a、
b、
c、
d、
3、【多选题】设确定z为关于x,y的函数，求。（ ）
a、先化简原方程得zlnz-zlny-x=0，方程两边同时对x求导，最后得
b、先化简原方程得zlnz-zlny-x=0，方程两边同时对y求导，最后得
c、令f(x,y,z)=，利用公式可直接得
d、令f(x,y,z)=，利用公式可直接得
4、【多选题】设，求，。 解：由所求表达式可知方程确定x,y分别为关于z的函数，方程组两边同时对z求导，整理得（ ）
a、，再用二阶行列式直接写出最后的解为
b、，再用二阶行列式直接写出最后的解为
c、，再用二阶行列式直接写出最后的解为
d、，再用二阶行列式直接写出最后的解为
5、【填空题】设方程确定y关于x的函数，则___________或___________
6、【填空题】设，则_______________
2.14曲面的切平面与法线1、【多选题】曲面在点m(2,1,4)处法向量（与z轴正向成锐角）为（ ）
a、(4,2,-1)
b、(-4,-2,1)
c、(8,4,-2)
d、(-8,-4,2)
2、【填空题】曲线在点(a1,b1,c1)与(a2,b2,c2)处的切向量平行于向量(1,0,-1)。这里规定a1>0，a2<0。则a1=______,b1=_______,c1=_______,a2=________,b2=________,c2=________
3、【填空题】曲面在点(1,2,0)处的切平面方程为ax y cz d=0。这里 a=_______,c=_______,d=_______
4、【填空题】曲面上点p处的切平面平行于平面2x 2y z-1=0。则点p坐标为(a,b,c)。这里 a=______,b=______,c=______
5、【填空题】曲面上点(2,2,3)处法线方程为。这里 b=_____,c=_____,n=_____,p=______
6、【填空题】求曲线在t=0时的法平面和切线方程。 解：将t=0代入参数方程可得切点坐标（x0,y0,z0）。 参数方程直接求导，再将t=0代入，可得切向量为(m,n,p)。 所以切线方程为。 法平面方程为m(x-x0) n(y-y0) p(z-z0)=0，整理得一般方程x by cz d=0。 这里x0=_____,y0=_____,z0=_____,m=_____,n=_____,p=_____,b=_____,c=_____,d=_____
7、【填空题】求曲面在点m(1,1,1)处的法线和切平面方程。 解：移项并化简曲面方程得z-y-lnx lnz=0。令f(x,y,z)=z-y-lnx lnz， 则切平面的法向量为=(a,b,c)。于是用点法式方程，整理后得切平面的一般方程为x by cz d=0。 法线方程为。这里 a=______,b=______,c=______,b=______,c=______,d=______
8、【填空题】求曲面与平面2x 4y-z=0平行的切平面方程。 解：平面法向量为(a,b,-1)。曲面方程改写为。令，切点设为(x0,y0,z0)，则切点处法向量为，利用平行条件，解得x0,y0,z0。最后用点法式方程得到切平面方程为ax by-z d=0。这里 a=____,b=____,x0=____,y0=____,z0=____,a=____,b=____,d=_____
2.18多元函数极值的概念及求法1、【单选题】记，则当（ ）时，函数f(x,y)在其驻点处取得极小值。
a、
b、
c、
d、
2、【填空题】求函数的极值。 解：首先通过一阶偏导数，求出f(x,y)的驻点为。这里 =_______，=________。
3、【填空题】接以上第1题。计算在驻点处的二阶偏导数得 _________,_________,__________。
4、【填空题】接以上第1第2题。由于____0，a____0，（填大于或小于号），由多元函数极值的充分条件可知 f(x,y)在驻点处取得极____值_______。
2.19拉格朗日乘数法及其应用1、【单选题】求函数f(x,y,u,v)在约束条件g(x,y,u,v)=a，h(x,y,u,v)=b下的极值。可以先作拉格朗日函数（ ）
a、
b、
c、
d、
2、【单选题】求抛物面到平面2x 2y z 5=0的最短距离。 解：首先转换为条件极值问题。点的坐标设为(x,y,z)，目标函数为点到平面距离公式，约束条件为抛物面方程。但因为之后要求导数，原目标函数中含有绝对值，求导不便，因此将目标函数转换为(想一下为什么？)，于是可作拉格朗日函数为（ ）
a、
b、
c、
d、
3、【填空题】接单选题第2题。再求的驻点，即由解出x=_______,y=_______,z=_______。（不必解出）
4、【填空题】接以上第1题。于是驻点唯一，可知其即为所求极值点。即当x=_____,y=_____,z=_____时，抛物面上点到平面的最短距离为______
2.20作业1、【单选题】下列极限存在的是__________.
a、
b、
c、
d、
2、【单选题】函数在点处具有偏导数是它在该点存在全微分的__________.
a、必要而非充分条件;
b、充分而非必要条件;
c、充分必要条件 ;
d、既非充分又非必要条件.
3、【单选题】有且仅有一个间断点的函数__________.
a、
b、
c、
d、
4、【单选题】已知,则__________.
a、关于 为单调递增;
b、;
c、;
d、.
5、【单选题】设,则=__________.
a、2;
b、;
c、0 ;
d、1.
6、【单选题】肯定不能成为某二元函数全微分的是__________.
a、;
b、;
c、;
d、.
7、【单选题】设函数,则错误的命题是__________.
a、是驻点;
b、是极值点;
c、是最小值点;
d、是极小值点.
8、【单选题】设函数,则为__________.
a、;
b、;
c、;
d、.
9、【单选题】曲面的一个法向量为__________.
a、;
b、;
c、;
d、.
10、【单选题】设函数在的某个邻域内有定义,且,,则有__________.
a、;
b、曲面 在点 的一个法向量为 ;
c、曲线 在点 的一个切向量为 ;
d、曲线 在点 的一个切向量为 .
3.14重积分几何应用1、【简答题】这章内容觉的哪个小节没有听懂？
3.15作业1、【单选题】为单位球:,则=_________.
a、
b、
c、
d、
2、【单选题】设有平面闭区域 , 。 则=___________.
a、
b、
c、
d、0
3、【单选题】分别为单位圆盘在一、二、三、四象限的部分, 则=___________.
a、
b、
c、
d、0
4、【单选题】,则=___________.
a、;
b、
c、
d、
5、【单选题】设有空间闭区域, ,则有__________.
a、
b、
c、
d、.
6、【单选题】由不等式确定:,, 则=_________.
a、
b、
c、
d、
7、【单选题】由不等式确定:,,则________.
a、
b、
c、
d、
8、【单选题】设.是由 所围成的正方体,则 ___________.
a、
b、;
c、;
d、.
9、【单选题】设为连续函数, , 则_______.
a、;
b、;
c、;
d、0.
10、【单选题】设连续且严格单减, , 则有_______.
a、;
b、;
c、;
d、与 大小不确定.
4.20斯托克斯公式及其应用1、【简答题】这章内容觉的哪个小节没有听懂？
4.21作业1、【单选题】设曲线l:,其线密度,则曲线的质量为________.
a、;
b、;
c、;
d、.
2、【单选题】设曲面是上半球面:,曲面是曲面在第一卦限中的部分,则有________
a、
b、;
c、;
d、.
3、【单选题】设是从到点的直线段,则与曲线积分不相等的积分是________
a、
b、
c、
d、
4、【单选题】=________,其中l为圆周..
a、
b、
c、
d、
5、【单选题】设l为,方向按增大的方向,则=________
a、
b、
c、
d、
6、【单选题】l是圆域d: 的正向周界,则=.________
a、
b、0
c、
d、
7、【单选题】用格林公式计算,其中l为沿逆时针绕一周,则得________
a、
b、
c、
d、
8、【单选题】设为在面上方部分的曲面,则=.________
a、
b、
c、
d、
9、【单选题】设曲面:的上侧,则=________
a、
b、
c、
d、0.
10、【单选题】. 设为球面,则=________
a、
b、
c、
d、
5.11函数展开成幂级数1、【简答题】这章内容觉的哪个小节没有听懂？
5.12作业1、【单选题】下列命题正确的是
a、若级数收敛，则级数 都收敛
b、若级数都发散，则级数 必发散
c、若级数发散，则级数 都发散
d、若级数收敛收敛，发散，则级数 必发散
2、【单选题】正项级数的部分和数列有上界是级数收敛的（ ）
a、充要条件
b、必要条件
c、充分条件
d、无关条件
3、【单选题】设,则级数发散是级数 收敛的（ ）
a、充要条件
b、充分条件
c、必要条件
d、无关条件
4、【单选题】若,则级数 （ ）
a、一定发散
b、可能收敛
c、绝对收敛
d、条件收敛
5、【单选题】设幂级数在处收敛，且,则（ ）
a、
b、
c、
d、
6、【单选题】数列单调有界是数列 收敛的（ ）
a、充要条件
b、充分条件
c、必要条件
d、无关条件
7、【单选题】下列各命题中不正确的是（ ）
a、若级数 收敛，则
b、若 ,则级数 发散
c、若级数 发散，则
d、若,则必有级数 发散
8、【单选题】设级数 ，且，n∈n ,则（ ）
a、若级数 收敛，则级数必收敛
b、若级数 发散，则级数 必发散
c、若级数 、 都收敛，则级数 必收敛
d、若级数 、 都发散，则级数 必发散
9、【单选题】级数 收敛是数列收敛的（ ）
a、充要条件
b、充分条件
c、必要条件
d、无关条件
10、【单选题】下列各点是幂级数的收敛的是（ ）
a、x=-1
b、x=0
c、x=1
d、x=2
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